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OpenAI 說解掉三道 Erdős 難題，收錄它們的資料庫標的是還沒解決

OpenAI 在 2026 年 8 月 1 日發表十項數學與理論電腦科學結果，其中三項寫明解掉 Erdős 問題 183、146、180。但 8 月 4 日的 erdosproblems.com 把這三題都標成 OPEN (LEAN)——陶哲軒 7 月 26 日才新增的狀態，意思是形式證明存在、機器驗得過，但還沒有人類讀懂它。全庫目前只有四題掛著這個標籤。

2026.08.04 · 作者 dvdmaru · 約 19 分鐘 · 7,046 字

This article is also available in English: OpenAI Says It Solved Three Erdős Problems. The Database Says Open.

三道題的編號是 183、146、180。

2026 年 8 月 1 日，OpenAI 發表〈Ten advances in mathematics and theoretical computer science〉，說一個未公開的內部模型做出十項結果，其中三項寫明解掉了這三道 Erdős 問題。8 月 4 日打開 erdosproblems.com，這三題的狀態欄寫著 OPEN (LEAN)，三個頁面同時顯示「0 claimed proofs for this problem」。

沒有人說那三個證明錯了。

對照組就在同一個站上。2026 年 5 月的 unit distance 反例，題號 #90，狀態欄寫的是 DISPROVED (LEAN)，後面還跟著一句站方說明：這題已被否定地解決，證明也在 Lean 裡驗過。#183、#146、#180 的同一個位置寫的是「No explanation available」。同一套判準會給出「已解決」，只是這三題沒拿到。

欄位的落差還往下延伸一格。#90 的「Formalised statement?」填的是 Yes，這三題填的是 No，頁面上還掛著「Create a formalisation here」的邀請連結。同一個資料庫、同一套欄位，一邊填得滿，一邊連敘述的形式化都還沒做。

差別不在證明的真偽，在一個七月底才被造出來的狀態格。open (Lean) 的意思是：這題有一份形式證明，機器驗得過，但還沒有人類讀懂它。按這個資料庫的規則，題目還開著。

被自動化掉的是證明。沒有被自動化的是理解。而收錄這三題的資料庫，把「解決」留給了後者。

這個狀態格是陶哲軒 7 月 26 日設的，首例是第 1112 題

erdosproblems.com 背後的資料庫放在 GitHub 上，由陶哲軒（Terence Tao，加州大學洛杉磯分校數學教授）維護。2026 年 8 月 4 日的 README 記錄的是 210 題「有一份在 Lean 裡形式化的解」，而規則寫得很白：這一批不必是已解決題目的子集合——一份還沒被人類讀者消化的形式化解，會保留它的非形式狀態，所以可以出現 open (Lean) 這種標法。

這條規則不是一直都在。

2026 年 7 月 26 日 19:12 UTC，陶哲軒在 Mathstodon 上說明了設計理由。他寫的原因是：AI 生成、已經在 Lean 裡形式化、但還沒被人類專家消化到可以接受的證明，已經是個會持續下去的現象，資料庫因此把形式狀態與非形式狀態脫鉤。他當時舉的首例是第 1112 題，說法是這題有一份可驗證的形式解，但還沒有人類消化過它，所以在非形式的意義上仍然開著。同一則貼文的結尾預告：「This problem will likely soon be joined by many others as the site continues to update.」（隨著網站繼續更新，這題很可能很快會有許多同伴。）

六天後，OpenAI 發布，這三題加入。

這個狀態格還很空。掃過 2026 年 8 月 4 日的全庫狀態表，標成 open (Lean) 的題目只有 4 題：#1112，加上 #146、#180、#183。同一張表上，open 有 604 題、proved 210 題、proved (Lean) 120 題、disproved (Lean) 63 題、solved (Lean) 23 題。陶哲軒設的首例，加上 OpenAI 這三題，就是這個狀態格的全部人口。

這個站的規則也不是為 AI 準備的。erdosproblems.com 論壇由站主湯瑪斯・布魯姆（Thomas Bloom，曼徹斯特大學皇家學會大學研究員）訂規則，明文寫本站不作為 AI 進展的 benchmark，所有數學宣稱張貼前必須由人類獨立驗證。規則最後一句是：「If you do not understand the mathematics yourself, please do not post it here.」（如果你自己不懂那個數學，請不要張貼在這裡。）

十個 Lean 檔的 sorry 計數全是 0，公理只有三個

先講可查的那一層，因為這一層在 AI 宣稱裡罕見地紮實。這次發布不只是一篇 blog。同一天出來的還有一份 249 頁的論文 PDF、一個 GitHub repo、一份模型「推理敘事」的 PDF，以及 OpenAI 員工的具名貼文。repo 叫 openai/ten-proofs，Apache-2.0 授權，公開可存取，建立時間是 2026 年 8 月 1 日 06:10 UTC，任何人都能下載、都能自己重跑。

裡面有十個 .lean 檔，另外一份 formalization.yaml 登記了 12 條主結果，每一條都寫出定理的完整宣告名稱、所在檔案、sorry 計數，以及該定理用到的公理清單。sorry 是 Lean 裡的佔位符，意思是「這裡先跳過」，有 sorry 就代表證明沒補完。

十個解答檔的 sorry 計數全部是 0，自訂 axiom 宣告也全部是 0。

公理欄的內容同樣乾淨：12 條主結果用到的公理，全部只有 propext、Classical.choice、Quot.sound 這三個。它們是 Lean 邏輯本身的標準配備，不是為了這次證明另外加上去的假設。repo 還附了一個 ComparatorChallenges/ 目錄，指示用 comparator 工具搭配獨立實作的檢查器重放驗證，這正是 Lean 官方文件裡稱為 Gold Standard 的流程。這一整套的可查程度，遠高於一般的 AI 能力宣稱。

官方也自己講了新穎點在哪。論文第 3 章的「Related work」列出先前通往非 sofic 群的幾條路——Bowen–Burton、Gohla–Thom 等等——然後指出那些路都依賴未經證明的穩定性假設，而這次的 Theorem 1.1 不需要任何未證明的穩定性假設。同一章也主動標了這個結果的射程：它並沒有順帶決定那個群是不是 hyperlinear——那是另一個相近的近似性質。往前推一格說新在哪，往後收一格說沒解決什麼，兩句都是官方自己寫的。

有一格要單獨標出來。formalization.yaml 的 review 欄位寫的是 status: "agent-reviewed"——審查是 agent 做的，而且這是官方自己標的。官方在 blog 裡對分工也講得很直接：他們協助把論證整理成手稿、把證明形式化進 Lean，並為正確性負責，而數學論證本身由他們的系統產生。還有一件事沒發生——截至 2026 年 8 月 4 日，這批結果沒有 arXiv 預印本，沒有期刊或會議的投稿紀錄，repo 的 issue 數是 0。

sofic 是什麼，以及定義寫在哪份檔案裡為什麼要緊

這裡需要一點背景，因為第三題的爭議點全在定義上。群可以想成一組元素加上一個乘法規則，攤開來就是一張乘法表。一個可數群是 sofic，意思是它乘法表的任何有限片段，都能用某個有限集合上的置換忠實地近似：乘法必須在幾乎每個點上成立，而每個非單位元素必須移動幾乎每個點。做得到，就叫 sofic。中文文獻多半直接保留英文 sofic，未見固定中譯；見到的實際用法是保留英文再加上中文否定詞，寫成「非 sofic 群」，本文也照這個寫法。

這個近似性質由 Gromov 在符號動力學的工作中引入，Weiss 隨後把它命名為 sofic 群，並問出那個問題：非 sofic 群存不存在。論文第 3 章的章名就是「A Counterexample to the Soficity Conjecture」，而 OpenAI 官方 blog 對這一題的措辭是：這個構造建立了非 sofic 群的存在，處理了群論中一個核心的未解問題。

Lean 官方文件把「證明有效」和「敘述是什麼意思」分開講

Lean 驗過一份證明，保證的是一件很具體的事：在這份檔案寫下的這組定義之下，這個敘述可以被證明。

它不保證那組定義忠實對應數學文獻裡的那個概念。

這不是外人的挑剔，是 Lean 官方語言參考手冊自己講的。〈Validating Proofs〉那一頁的核心區分逐字寫著：「it is important to distinguish the question “does the theorem have a valid proof” from “what does the theorem statement mean”」（要區分「這個定理有沒有有效的證明」和「這個定理敘述是什麼意思」，這件事很重要）。

同一頁還做了一件更直接的事：它把未經審查的 AI 生成證明與程式，歸進 malicious 這個類別——文件對 malicious 的定義是刻意欺騙或誤導使用者、利用漏洞或危害系統的程式碼。官方指示的檢查法就是前面那套：對定理下 #print axioms，確認只回報那三個標準公理；如果冒出 sorryAx，代表這個定理或它的相依項用了 sorry 或不完整。

Gold Standard 那一層，官方註明只在高風險情境才需要，並且直接點名了三種：proof marketplaces、high-reward proof competitions、unaligned AI。就算跑完這套流程，官方列出的殘餘風險還有五條：Lean 邏輯本身的健全性、comparator 管線是否正確、沙箱是否安全、是否存在同時影響所有檢查器的 bug，以及受信任的挑戰檔裡沒有人為錯誤、也沒有對定理敘述的誤導性呈現。

官方還補了一句：如果懷疑一個定理的意思跟表面不符，它的敘述和所有被引用的定義都必須仔細檢查，自訂記號與 type class 尤其要看。

這句話在這次的第三題上有具體對應物。ComparatorChallenges/D_NonSoficGroup.lean 這個檔只有 39 行，它雖然 import Mathlib，但 normalizedHamming、PermutationModel、GoodOn、Sofic 這四個關鍵定義，都是寫在這份檔案裡的，不是引用 mathlib 既有的定義。所以機器保證的是：在這組自訂定義之下，那個敘述可證。這組定義忠不忠於文獻上的 sofic，是人類要判斷的事。

這裡有個很容易寫錯的地方。那份 39 行的挑戰檔確實以 sorry 收尾，但那是只鎖敘述用的檔案，sorry 在那裡是佔位符，本來就該在；真正的解答檔 NonSoficGroup.lean 裡，sorry 出現 0 次。把挑戰檔的 sorry 說成「OpenAI 的證明有洞」，是讀錯了檔案的用途。

兩個檔案的體積差距也值得看一眼。挑戰檔 39 行，寫的是要證什麼；解答檔 NonSoficGroup.lean 有 34,440 行，寫的是怎麼證。十個解答檔加起來 548,205 行，最大的 GapCVP.lean 130,430 行，最小的 MulticolorTriangleRamsey.lean 3,053 行。「還沒有人類讀懂它」這句話，擺在三萬四千行 Lean 前面就不抽象了。

還有一組落差值得記下來。論文的 Theorem 1.1 講的是二元 Leavitt 代數的單位群不是 sofic，指的是一個特定的群；Lean 的頂層定理講的則是「存在一個有限展示的非 sofic 群」。兩者可以相容，但不是同一句話。

發布前四天，Lean 核心被證出 False，十小時後修掉

定理證明器不是魔法，這一點在這次發布前四天剛好有個例子。2026 年 7 月 28 日 03:28 UTC，leanprover/lean4 收到 issue #14576，標題逐字是：「Kernel accepts wrong-structure projections, allowing an axiom-free proof of False」——核心接受了結構錯誤的投影，讓人可以不用任何公理就證出 False。

在形式驗證裡，能證出 False 等於這套系統當下什麼都能證。

同一天 13:39 UTC，這個 issue 關閉，前後大約十小時。兩件事都要記著：一是這種洞真實存在，不是假想；二是社群的反應速度是以小時計的。

官方那條殘餘風險——「不存在同時影響所有檢查器的 bug」——是一個假設，不是保證。獨立實作的檢查器也不是不會出事：同一週另有一份提交，標題直指檢查器 nanoda 與它的衍生版本有一個健全性 bug。

那個核心 bug 跟這次發布有一個查得到的接點。ten-proofs 的 lean-toolchain 檔釘的是 leanprover/lean4:v4.32.0，這個版本發布於 2026 年 7 月 13 日，v4.32.1 發布於 7 月 22 日。issue #14576 的修補 PR 在 7 月 28 日 13:39 UTC 合併，帶著這個修補的 v4.32.2 於同日 16:34 UTC 發布。也就是說，ten-proofs 釘的版本比那個修補早了十五天，不含那個修補。

這句話到這裡為止。那十個證明有沒有牽涉到該 bug 所在的構造，沒有人說過，本文也判斷不了——這一段不是在說證明有問題。真正的重點是另一件事：你之所以能問出這個問題、還能自己查到答案，是因為版本號被釘在一份公開的檔案裡。這一層可查。往上那一層不可查。

模型名字、題數、2,000 美元，都不在形式化的射程內

到這裡，可查的部分講完了。接下來這一層，Lean 一個字也管不到。先看模型。「Astra」這個名字在 249 頁的論文裡出現 0 次，在那份推理敘事 PDF 裡也是 0 次，論文全篇只寫 an internal OpenAI model。它出現在另外兩個地方：官方 blog 一次，說這些結果由 Astra 的一個內部版本達成、Astra 是他們的下一個主力模型；還有 repo 的 formalization.yaml，automation 欄逐字登記了 models: ["Astra (OpenAI)"] 與 framework: "Codex"。

換句話說，做出這十項結果的東西，是一個未發布的內部模型。沒有公開產品，沒有 API，沒有 model card，外界能查的只有它的輸出。

更值得看的是同一天的兩種說法。官方 blog 寫的是：他們分享十項結果，每一項 resolves or makes substantial progress on 一個長期未解問題——解決，或者取得重大進展。同日，OpenAI 的諾姆・布朗（Noam Brown）在具名貼文裡寫的是，Astra 的一個內部版本「solved 10 major open problems」（解出十道重大未解問題）。

官方頁的總述帶著「或者取得重大進展」這個限定，具名貼文寫的是解出十道。同一天、同一個組織，兩種說法。

同一則具名貼文還把它寫成 next major model family，blog 寫的是 next major model，用詞也不齊。

再看題數。「十題」是一個打包數字，而 formalization.yaml 登記的是 12 條主結果——第 10 項裡含兩個獨立猜想，第 2 項含兩類碼。十跟十二哪個對，看你怎麼數。

然後是那個到處被引用的數字。官方原句是：「The total number of tokens needed to find solutions to these problems would cost roughly $2,000 at Sol API rates.」下一句接著寫，這些論證之後由人類用同一個模型整理成手稿。

這句話有三層限縮，一層都不能掉。

第一層是 would cost，虛擬語氣，這是換算不是實付金額。第二層是 at Sol API rates，用的是另一個模型 GPT-5.6 Sol 的公開牌價來換算；Astra 自己沒有牌價，因為它沒發布。第三層是它只涵蓋「找到解」所需要的 token，不含形式化，不含 formalization.yaml 自己記載的 wall_time: "1 week"，也不含官方在同一段裡寫明的、由人類把論證整理成手稿那一段工。

「只花 2,000 美元就解出十道難題」這個講法，把三層限縮全部拆掉了。

「首次」這個詞也要分題看。官方 blog 全文「first」出現 0 次，對非 sofic 那題只寫 addressing a central open question；但同一份 249 頁論文裡，「first」出現 178 次，其中包含明確的優先權宣稱——堆球那題寫著這是 1978 年以來對一般堆球指數的第一次改進，另一處寫了兩個高維指數自 1977 與 1978 年以來的第一次改進。所以正確的講法是：官方在 blog 沒有用「首次」，論文對堆球那幾題確實寫了首次，對非 sofic 那題則沒有。

最後是分母。

Astra 一共試過多少題、失敗了幾題，官方完全沒有揭露。十項成功結果的背後有多少次沒成功，外界無從得知。

「或者取得重大進展」這個限定詞，官方只用過一次。「substantial progress」在官方 blog 全文只出現一次，就是十項結果的那句總述；往下十條逐項說明用的動詞各不相同——establishing、constructing、addressing、proves、improves、resolves——但官方從頭到尾沒有標出哪幾項屬於「解決」、哪幾項只是「取得重大進展」。

界線官方自己沒有畫，外界也就畫不出來。本文同樣不替這十題分類。這一層沒有一行是形式化的，而爭議也全部落在這一層。

2025 年 10 月的錯誤發生在宣稱，不在證明

九個多月前，同一個資料庫上發生過一次形狀不同的事，值得對照，因為錯的位置完全不一樣。起點是正確的。2025 年 10 月 12 日，時任 OpenAI 的塞巴斯提安・布貝克（Sebastien Bubeck）貼文說「gpt5-pro is superhuman at literature search」（gpt5-pro 在文獻檢索上是超人的），因為它發現 Erdős 第 339 題其實 20 年前就被解掉了。那句話的意思是：模型找到了論文。

10 月 17 日，哈佛大學統計學助理教授馬克・塞爾克（Mark Sellke）引用該貼文，寫成他們找到了 10 道「listed as open」的 Erdős 問題的解。那則貼文後來被掛上 X 的 Community Note：GPT-5 並未解出那些題，只是找到了既有的已發表文獻。

從「模型找到了論文」到「找到 10 道被標成 open 的題的解」，只花了五天。

布魯姆當天出面糾正，用的字是「dramatic misrepresentation」（嚴重失真）。他解釋，GPT-5 找到的是他本人不知道的既有文獻；一道題標成 open，只代表他個人不知道有論文解掉它。

同一天，時任 OpenAI 主管凱文・韋爾（Kevin Weil）公開承認自己誤解了，原文寫「Still very cool, but not the right words.」（還是很酷，但用詞不對。）並說會把貼文刪掉。布貝克隔日也公開說明，他刪了貼文，無意誤導任何人，被找到的只有文獻裡既有的解。兩位當事人都在同一週內公開更正了自己的措辭，這條鏈上的每一環都有公開的永久連結。

第 339 題在 2026 年 8 月 4 日的狀態是 PROVED，備註寫明由 Hegyvári、Hennecart、Plagne 於 2003 年證明。這場誤會在網站上也留下了結構性的痕跡，而且留到 2026 年 8 月。用 Wayback Machine 對照可以看到，erdosproblems.com 的 open 題頁在 2025 年 9 月 18 日的快照上還沒有免責聲明，2025 年 12 月 9 日的快照已經加上了：這題的 open 狀態反映的是本站站主當下的認知，可能存在他不知道的相關文獻，請在投入大量心力之前自己做一次文獻檢索。那一段在 2026 年 8 月 4 日仍然逐字掛在 #183、#146、#180 這三個頁面上。

同一型的錯誤在 2025 年 12 月又發生一次。據《量子雜誌》報導，一名劍橋大學大學部學生在該站張貼 Erdős 第 333 題的解答，並說這可能是 LLM 首次全自主解出 Erdős 問題，數小時後被指出 Erdős 本人 1977 年的論文早已解決。他的認錯原文是：「As someone who has fallen for this twice now, it’s quite gut-wrenching.」（作為一個已經栽在這件事上兩次的人，這相當難受。）

2025 年 10 月那次，錯在宣稱本身。2026 年 8 月這次，宣稱站得住，爭論換了地方。

數學家現在爭的是份量與歸屬，不是真偽

截至 2026 年 8 月 4 日，查不到任何具名數學家公開主張這十題「早就被解過」「不算 open」或者「證明有缺口」。現有的質疑集中在另外兩個字上：份量，還有歸屬。

erdosproblems.com 官方論壇的「AI Contributions 2」討論串上，有一條意見指出，官方頁面講的 significance 是在講問題的重要性，不是貢獻的重要性——這兩者可以分開，對一個重大問題做出相對次要的貢獻是有可能的。另一條意見把第 3、4、9、10 題歸為反例：它們解決了猜想，但只是技術意義上的解決，意思是提出猜想的人猜錯了；同一則發言還就堆球那題做了貢獻切分，認為既有的人類工作佔了大部分。

同一個論壇上，第 7 題另有一條質疑：它可能與 2026 年既有的 GapSVP 突破重疊，而 OpenAI 的論文沒有引用那份工作。這條質疑到 2026 年 8 月 4 日沒有結論性的裁決，只能記成有人提出、尚無定論。

也有具名的評價，而且來自對的人。密西根大學安娜堡分校資訊工程 Arthur W. Burks 講座教授克里斯・派克特（Chris Peikert）是格密碼學者，第 7 題的最近向量問題正是他的領域。

他公開講的是一段轉折。他說自己和其他人的第一反應是這篇論文寫得不好，接著明說自己改變了想法。他光是讀那一頁的證明綱要就花了一個多小時，形容它 dense and terse——過密、過簡、缺乏框架說明——但關鍵想法都在，論文主體其實相當好讀。他也指出那個結果的量化參數還可以再優化。他對結果本身的評語是「original, elegant, and beautiful」（原創、優雅、漂亮）。

一位領域內的專家讀進去之後改觀，中間隔著一個多小時。讀懂需要時間——這正是 open (Lean) 那個標籤在講的事。

貢獻切分那條爭議還有另一半，也在公開檔案裡。formalization.yaml 有一個 prior_work 欄，登記了兩個既有的 Sphere-Packing-Lean 專案；acknowledgements 欄寫著「We thank the authors of the Sphere-Packing-Lean project.」（感謝 Sphere-Packing-Lean 專案的作者們。）論壇認為既有的人類工作佔了大部分，而官方自己在 manifest 裡登記了前人工作——這兩件事同時成立。

論文自己也主動處理了一次歸屬問題。第 4 章的致謝寫明，在準備手稿期間，他們得知 Shuoxing Zhou 有一份獨立且同時完成的 Connes rigidity 反例，而那份工作部分是在 GPT-5.6 Sol 的協助下做出來的。

往外拉一層，這場爭論不是這十題獨有的。普林斯頓大學的諾加・阿隆（Noga Alon）對《量子雜誌》（Quanta Magazine）說，這些模型正在大幅改變數學研究的進行方式；同一篇裡，布魯姆講的是另一件事：大量由不具數學背景的人用 AI 產生的百餘頁論文正在湧現，而沒有人類讀過它，也不會有人類去讀。

陶哲軒在 2026 年的 ICM 公開講座投影片裡講的是同一個形狀。他描述的那個轉變本身是中性的：數學會從證明稀缺的時代，走向證明充裕的時代。他的擔憂掛在一個條件上——如果沒有相應的政策與文化調整，就會出現他稱為「阻抗不匹配」或「證明消化不良」的狀況：AI 生成的證明會堆積在那裡，等著被驗證。

制度層面已經有回應。2026 年 6 月 2 日發布、由國際數學聯盟背書的 Leiden Declaration on AI and Mathematics（萊頓 AI 與數學宣言），截至 2026 年 8 月 4 日頁面顯示 3,409 位簽署人。宣言第 4 條逐字寫著：「Proper evaluation is endangered if results are communicated through informal channels such as press releases or blog posts」（若結果透過新聞稿或部落格貼文這類非正式管道傳播，適當的評估就會受到危害），並補充這類傳播往往不附研究論文或科學評估所需的其他資訊。

宣言另外兩條也直接對上這次的情況：論證與結果正確性的責任專屬於人類作者，功勞與責任屬於數學社群裡的人，不應歸給自動化系統；而現行自動化技術可能產出貌似合理但不可靠的論證，這一點不只適用於非形式論證，也適用於形式化——困難出在電腦編碼與人類表述之間的翻譯。OpenAI 官方頁在講責任歸屬時，主動提到了這份宣言的簽署者。

英國數學家、費爾茲獎得主提摩西・高爾斯（Timothy Gowers）在 2026 年 7 月 26 日的部落格談這份宣言，他的核心憂慮不是正確性，是文化：文獻可能大幅擴張，卻沒有一個對應的、擁有共同理解的人類專家社群。他還提出一條分配原則：如果甲用 LLM 一次做出解答，乙花力氣消化它並講給別人聽，功勞主要應該歸乙。這條原則放回 open (Lean) 這個標籤上，會發現它們講的是同一件事。

一門學科在被迫回答什麼叫解決

這次真正的新聞不是十個證明。

是那個狀態格。

open (Lean) 這五個字承認了一件過去不需要承認的事：一道題可以同時「有一份機器驗得過的證明」和「還沒被解決」。這兩件事在 2026 年 7 月 26 日之前，資料庫裡沒有格子能同時裝下。

那三個證明對不對，本文說不知道。它們的 sorry 是 0、公理只有三個標準公理、任何人都能下載重跑，這些是機器能說的，也已經說完了；剩下的話要人來說，而按 8 月 4 日的頁面，人還沒說。

被自動化掉的是證明。沒有被自動化的是理解。

資料庫把「解決」留給了理解；論壇站規要求張貼前先自己讀懂；萊頓宣言把正確性的責任留在人類作者身上。三者管的不是同一件事，指的卻是同一個方向。

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